< 1 >
Неявное дифференцирование
В уравнении, когда невозможно выразить y в явном виде как функцию от x, приходится дифференцировать в неявном виде. Для этого используется оператор дифференцирования, который записывается в виде
где этот символ означает "взять производную от ...".
Пояснение
В этой связи часто используется цепное правило в виде
для определения производных от членов с y. Иногда также просто проще продифференцировать функцию не явно, а в неявном виде.
Пример 1
Функция f (x) = xx не может быть легко выведена на x, поскольку и основание, и экспонента являются переменными. Сначала возьмем логарифм этой функции
так как для логарифма мощности мы имеем
Теперь мы можем неявно вывести оба члена для x
Левый член можно вычислить по цепному правилу
Производная логарифма и правило произведения дают
Умножение на y дает
Подставим y = xx, тогда решение будет следующим
Пример 2
Окружность радиуса r задана уравнением x2 + y2 = r2. Путем неявного вывода получаем
Отсюда следует, что касательная к окружности в точке (x, y) имеет наклон .
Пример 3
Неявное дифференцирование функции x y – 3x – 2y + 5 = 0 дает
так что